v1.0 . Das ist Wahrscheinlichkeitstheorie 1 und das ist eigentlich eine ganz typische Aufgabe. Wie würde ich einen unbekannten Parameter in zum Beispiel unabhängigen Münzwürfen bestimmen? Auch für uns ist das gerade noch sehr zusammenhangslos. If you take lambda of x and y, then you can take lambda out of these brackets. Wenn ich die ganzen Aufgaben nicht erledigen würde, dann würde ich am Ende des Semesters keinen Plan mehr haben. An der Aufgabe kann schief gehen, dass ich irgendwas Falsches dahin schreibe. Dann dürft ihr beide uns jetzt zeigen, wie das geht. Ich bin Philine und ich studiere Mathematik an der Technischen Universität Berlin. Wir haben jetzt gleich zwei Stunden Zeit, um eine Aufgabe für Wahrscheinlichkeitstheorie zu lösen. Und dafür treffe ich erst mal einen Kommilitonen. Guten Morgen! Hallo! War das lang? Nee, alles gut. Dann gucken wir uns doch mal die Aufgabe an. Also wir wissen ja, nach Aufgabe sei i endlich und p sei irreduzibel. Wenn man Mathematik studiert, dann ist es auch wichtig, dass man im Team arbeitet. Da habe ich in jedem Modul auch eine Hausaufgabengruppe. Die sucht man sich und dann lernt man meistens auch nochmal ganz nette Kommilitonen kennen. Und im Team kann man dann die Aufgaben lösen, die man alleine sonst vielleicht nicht hätte lösen können. Und das hilft einem dann halt auch für das Verständnis. Und dann sollen wir zeigen, dass ein n, Element n existiert. Das ist jetzt Wahrscheinlichkeitstheorie 1 und das ist eigentlich eine ganz typische Aufgabe. Also wir haben eben ganz viele Voraussetzungen da jetzt stehen und müssen erst mal verstehen, was irreduzibel heißt. Aber dann überlegen wir uns auch gleich, was wir mit diesen ganzen Sachen überhaupt machen können. Weil auch für uns ist das gerade noch sehr zusammenhangslos. Sodass p hoch n und y, z größer 0 für alle n größer gleich n und y, z Element i. Wir wissen ja, wir sind bei Markovketten. Das heißt, p ist die Übergangsmatrix und die einzelnen p hoch n sind die Übergangswahrscheinlichkeiten. Man muss da immer ein bisschen kreativ denken. Das ist auch sehr, sehr wichtig, weil wir dadurch lernen, dass wir komplex denken und logisch und abstrakt denken. Und dadurch überhaupt neue Dinge innovativ denken können bzw. verstehen, warum bestimmte Resultate gelten. Wichtig bei den Hausaufgabenblättern und bei den Übungsaufgaben ist immer, dass man kontinuierlich am Ball bleibt und auch alle Aufgaben versucht zu erledigen, weil die aufeinander aufbauen. Wenn ich die ganzen Aufgaben nicht erledigen würde, dann würde ich am Ende des Semesters keinen Plan mehr haben, warum bestimmte Aussagen funktionieren. Und diese Hausaufgaben helfen halt einfach, das Verständnis über das Semester hinweg für das gesamte Thema zu erhalten. Lass uns mal y und x wählen und dann haben wir den Bezug zu dem x. Aber das hängt ja schon noch von y und x ab. Genau, dann sollten wir das n, y, x nennen. n, y, x, y, Element i. Ja, lass es uns mal mit 2m erst mal probieren und gucken, was dann da halt steht. Fürs Mathestudium habe ich mich aus unterschiedlichen Gründen entschieden. Ich glaube, ein großer Punkt war, dass ich einfach schon immer Spaß an Naturwissenschaften wie Mathematik oder Physik hatte. Ich bin gerne auf Wettbewerbe gegangen und habe da auch über den Schulstoff hinaus mich mit der Naturwissenschaft beschäftigt und hatte halt einfach Spaß auch an Aufgaben zu knobeln. Das Schöne fand ich immer, dass Mathematik für mich in der Schulzeit so eine Lösung hatte. Und wenn man die dann rausbekommen hatte, dann hatte man es auch richtig. Und dann war es auch keine Diskussion, ob die Lösung stimmt oder halt nicht stimmt. Wie würde ich einen unbekannten Parameter in zum Beispiel unabhängigen Münzwürfen bestimmen, um zu testen, ob die Münze fair ist. Naja, ich würde jetzt einfach die Münze n-mal werfen. Wir haben sozusagen ein statistisches Modell. Was war das nochmal? Das ist im Grunde genommen ein messbarer Raum. Wahrscheinlichkeitstheorie kennt man noch ein bisschen aus der Schule vom Bernoulli-Experiment. Man definiert, was ist überhaupt ein Wahrscheinlichkeitsraum, warum gibt es Zufallsexperimente, was sind die Variablen, die wir dafür brauchen. Und dann ist das Schöne an Wahrscheinlichkeitstheorie, dass man praktische Dinge ausrechnet. Ob es für die Versicherungsmathematik ist oder später für die Finanzmathematik, ob es um Bankenversicherungen, Katastrophen oder andere Fälle geht. Wahrscheinlichkeitstheorie ist eigentlich fast überall. Man definiert jetzt also die Maximum-Likelihood-Schätzung folgendermaßen. Also wir nehmen jetzt zunächst einmal an den diskreten Fall, das sei also der Stichprobenraum eine diskrete Menge. Den Parameter Theta bilde ich ab auf Lx von Theta. Definiert ist diese Funktion eben genau als die Wahrscheinlichkeit oder den Wert der Zähldichte P Theta in dem gegebenen Daten x. Und diese Funktion heißt Likelihood-Funktion. Der Unterschied zwischen Mathematik in der Schule und Mathematik an der Universität ist vor allem der, dass man an der Universität die Dinge beweist und zeigt, warum ist das eigentlich so und an der Schule es für gegeben nimmt und sagt, okay, das ist jetzt so und jetzt versuche ich halt eine Aufgabe zu lösen. Hallo, everybody. So we are going to continue talking about limiting groups. Groups and Logic ist ein Modul aus dem Bereich Algebra. Es ist bestimmt nicht die einfachste Vorlesung. Das beschäftigt sich auch mit Strukturen. Man kann sich mit Kaligraphen beschäftigen, mit freien Gruppen. Und freie Gruppen sind prinzipiell Gruppen ohne definierenden Relationen. The first step is proving the existence of finitely maximal limiting groups. And at the end we want to arrive to the construction of the so-called Makanin-Razborov-Diagram. Da geht es eher darum, zu sehen, okay, es ist logisch und baut aufeinander auf. 100 Prozent nachvollziehen kann ich es danach, wenn ich es lese. Pn plus 1 von y, x ist gleich, und das teilen wir wieder auf in die Summe? Ja. Also Chapman-Kolmogorow. y, x von y, x größer 0 ist, oder? P hoch n, oder? Also wenn wir quasi ein festes schon gewählt haben. Ja, stimmt. P hoch n. Jedes Wort hat eine Definition und eine Bedeutung und dann muss man das verstehen. Und wenn man es verstanden hat, dann macht es total viel Sinn. Aber am Anfang kann so ein Begriff, wenn man die Definition nicht kennt, schon sehr verwirrend sein. Also wenn wir mit diesem Beispiel Irreduzibilität jetzt hier anführen. In dem Fall .... ... und gegenseitig erreichbar sagt uns dann ... Aber ja, wenn ich nur irreduzibel wüsste und ich wüsste davor nicht die Implikationskette, dann ist es schwierig, das Ganze zu zeigen. y, x, p hoch n, x, z. Und das wissen wir ja, dass das größer 0 ist. Ich glaube, eine knappe Stunde waren wir jetzt dran. Ja. Aber manchmal sieht man auch sofort eine Idee und dann geht es halt deutlich schneller. Es kommt auch darauf an, wie gut man sich eingelesen hat. Aber man kann auch mal stundenlang sitzen. In dem Moment, wo es dann Klick macht und man quasi diesen Moment findet und die Lösung hat und dann weiß, oh, okay, ich muss an der Stelle das und das machen, ist es halt ein totaler Erfolgs-Moment. Die wichtigste Eigenschaft fürs Mathematikstudium ist, dass man einfach total viel Spaß daran hat zu knobeln, ein gutes Durchhaltevermögen und Lust darauf hat, Dinge zu beschreiben und sich auch anzugucken, die man vielleicht auf den ersten Blick in der mathematischen Komponente nicht erfassen kann. Aber man muss nicht einen Leistungskurs Mathematik gehabt haben oder besonders gut in der Schule gewesen sein in Mathematik, weil auch das kann man durch Vorkurse und andere Möglichkeiten etwas nachholen. Das ist gar nicht unbedingt der Fokus des Mathematikstudiums. Ich finde aber auch, dass Teamfähigkeit wichtig ist. Man sollte jetzt nicht ein kompletter Einzelkämpfer sein. Das funktioniert zwar auch, aber wir arbeiten hier vor allem im Team und da muss man sich gegenseitig auch unterstützen können. Thomas! Skat und Doppelkopf sind die beiden Spiele, die hier im Mathegebäude dauerhaft gespielt werden. Und fast alle Mathestudierenden kennen die auch. Und so zwischendurch als Pause, ja, ist das eigentlich der Standard. Herbert was a German mathematician who was born in Königsberg around the change of the century. Second property is that if you take here lambda of x and y, then you can take lambda out of these brackets. Funktionalanalysis hilft später auch mit der Wahrscheinlichkeitstheorie. Am Anfang wiederholt man natürlich, was ist kompakt, was ist ein metrischer Raum. Aber man vertieft es dann auch Richtung Hilbert-Räume und auch andere Dinge in Funktionalanalysis. Es geht auch zum unendlich dimensionalen Fall. Also man bleibt nicht nur im Endlichdimensionalen und zeigt dann auch viele Resultate, die man vielleicht schon aus Analysis 2 kennt. In Funktionalanalysis haben wir den tollen Vorteil, dass die Professorin darauf bedacht ist, dass auch jeder das verstehen kann und dementsprechend auch immer nachfragt, inwieweit man das verstanden hat, sodass man super folgen kann und einfach auch nochmal Fragen stellen kann. Er sagt auch nochmal, was irreduzibel war, dann kommen wir direkt über Äquivalente dazu. Dass halt die Übergangswahrscheinlichkeit in der Übergangsmatrix größer als Null ist. Ja, und danach halt die Induktion. Genau, also den typischen Beweisablauf einer Induktion. Wichtig, dass ich Chapman-Kolmogorow an der richtigen Stelle erwähne. Ja. An der Aufgabe kann schief gehen, dass ich beispielsweise Fehler an der Tafel mache, also irgendwas Falsches dahin schreibe, weil ich mich irgendwie in dem Moment vertue, dann aus dem Konzept komme und es dann nicht mehr strukturiert ist, sodass man das nicht ganz gut nachvollziehen kann. Das wäre ungünstig. Es ist ja auch darum geht, dass alle was davon mitnehmen können, weil man sich gegenseitig ja auch unterstützt und voneinander lernt. Schön, dass ihr da seid. Es geht weiter um Markovketten und deswegen nochmal eine kleine Zusammenfassung, was eine Markovkette eigentlich sein soll. Deswegen nochmal die Definition von einer Markovkette. Das da links drüben ist ein hinreichendes Kriterium dafür, dass wir diesen Satz anwenden dürfen. Darum geht es. Ist das okay für alle? Okay. Dann dürft ihr beide uns jetzt zeigen, wie das geht. Ich würd mir was farblich unterlegen, damit es ein bisschen deutlicher wird. Genau. Die Eigenschaft brauchen wir auf jeden Fall. Zuerst einmal würde ich die Eigenschaft nutzen, dass P irreduzibel ist. Da P irreduzibel ist, wissen wir schon, dass zwei Elemente äquivalent sind, dass es also in jedem Fall erreichbar ist und wir von einem x-Element i zu einem y-Element i kommen. Das heißt, da P irreduzibel ist, existiert ein n, y, x. Damit klar ist, dass es von den beiden Elementen aus abhängig ist. Element n soll für alle n ... Das Präsentieren an der Tafel ist besonders wichtig, weil man einfach nochmal feststellt, habe ich das Thema verstanden, kann ich es jemand anderem erklären, dann funktioniert es. ... P hoch n von x, y ... Wenn man es nicht präsentieren kann, dann hat man vielleicht irgendwas zusammengeschrieben, aber man hat es nicht verstanden. ... insbesondere auch das Maximum im Exponenten. Und wenn wir das wissen, können wir nochmal Chapman-Kolmogorow anwenden. Hier habe ich insbesondere ja schon das Wissen, dass das größer 0 ist. Und mit dem Wissen habe ich dann gezeigt, dass es für alle n größer gleich diesen n, also größer gleich 2m gilt, dass das größer 0 ist. Und damit schräg positiv. Das wäre der Beweis in dem Moment gewesen. Gibt es Fragen? Also ganz kurz eine kleine Bemerkung noch. Man kann das ja auch noch weiter absprechen. Ich weiß nicht, ob ihr das hattet in der Vorlesung. Wir können auch statt dieser Bedingung einfach sagen, wir wollen aperiodisch sein. Hattet ihr das schon? Okay, dann will ich gar nichts mehr sagen. Dann sind wir durch für heute. Ja, das ist super. Ich hätte es ein bisschen anders aufgeschrieben, dass noch ein bisschen mehr die Intuition dabei bleibt. Wenn es richtig ist, ist es richtig. Ich kann verstehen, dass das vielleicht nicht so intuitiv war. Für uns war es halt logisch, einfach die Eigenschaften durchzugehen. Aber so ist das halt in Mathe auch das Schöne, dass es unterschiedliche Wege gibt. Aber im Endeffekt ein richtiges Ergebnis und das muss halt stimmen. Wenn ihr wissen wollt, was man mit dem Mathematikstudium alles beruflich machen kann, dann schaut gerne hier. Und weitere Videos von Alpha Uni gibt es hier.